TESTY - ZAJÍMAVÉ ÚLOHY

ZAJÍMAVÉ ÚLOHY - 3. část:

Úloha č.122: Pravděpodobnost

a) V kvintě je 33 studentů. Jeden z nich se narodil 26. prosince. Jaká je pravděpodobnost, že se ještě někdo jiný narodil 26. prosince?

b) V oktávě je 31 studentů. Jaká je pravděpodobnost, že dva z nich slaví narozeniny ve stejný den?

Řešení 16. ledna 2012. Řešení zasílejte na tuto adresu.

Úloha č.122: Změna entropie

Spočítejte změnu entropie, smícháme-li 3 kg vody o teplotě 62 ^oC s 2kg vody o teplotě 20 ^oC.

Řešení úlohy č. 122.

Úloha č.121: Exothermické a endothermické reakce

Spočítejte množství tepla, které se uvolní nebo spotřebuje při hydrogenaci 1 kg plynného ethylenu na plynný ethan, jsou-li k dispozici tyto 3 termochemické rovnice:

  C₂H₄(g) + 3 O₂(g) --> 2 CO₂(g) + 2 H₂O(l)     ΔH = - 1410,9 kJ/mol

  2 C₂H₆(g) + 7 O₂(g) --> 4 CO₂(g) + 6 H₂O(l)     ΔH = - 3119,1 kJ/mol

  2 H₂(g) + 0,5 O₂(g) --> H₂O(l)     ΔH = - 285,9 kJ/mol

Řešení úlohy č. 121.

Úloha č.120: Harmonické kmitání

Závaží o hmotnosti a g zavěšené na pružině způsobí její deformaci b cm. Závaží harmonicky kmitá bez tlumení na pružině s maximální amplitudou c mm. Určete zrychlení, rychlost a výchylku za d s, začneme-li čas měřit, je-li zrychlení kladné a rovno polovině maximální hodnoty (kladná je i rychlost pohybu závaží).

Řešení úlohy č. 120.

Úloha č.119: Periodická čísla

Napište periodická čísla 102,0(02) a 102,0(9) zlomky.

Řešení úlohy č. 119. (Správné řešení zaslal ing. Karel Buchta z Karlových Varů.)

Úloha č.118: Anylytická geometrie v 3D

Body A[2;0;0], B[2;6;8] a C[-6,66;3,06;3,96] jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníka. Najděte bod D tak, aby ABCD byl pravidelný čtyřstěn.

Řešení úlohy č. 118.

Úloha č.117: Doplnění řady

Doplň do řady chybějící číslo:

a) 1/3, 1/2, 5/6, 4/3, 13/6, ? , 17/3, ...
b) 1/3, 1/2, 5/6, 4/3, 2, ? , 23/6, ...

Řešení úlohy č. 117.

Úloha č.116: Maximální a minimální hodnota funkce

Určete (přesně) jaké maximální a minimální hodnoty nabývá funkce y(x) = cos²x + 0,5 sin 2x.

Řešení úlohy č. 116.

Úloha č.115: Kalorimetrická rovnice

Kalorimetr o tepelné kapacitě 100 J.K^-1 obsahuje 1,5 kg vody o teplotě 25⁰C. Když jsme do něho vložili kousek ledu o teplotě -12⁰C, teplota se ustálila na 10⁰C. Jaká byla hmotnost ledu?

Řešení úlohy č. 115.

Úloha č.114: Maximum funkce

Jaký výsek musíme vyříznout z kruhu, aby se zbylá část kruhu dala svinout v plášť kužele, jehož objem je co největší?

Řešení úlohy č. 114.

Úloha č.113: Kinetická energie molekul

Vypočtěte vnitřní kinetickou emergii všech molekul vzduchu v prázdné místnosti 3 x 4 x 2,5 m. Teplota vzduchu je 24⁰C a jeho tlak 1013 hPa.

Řešení úlohy č. 113.

Úloha č.112: Převzato z knihy Drozd J.: Začínáme s programováním. Grada, Praha 1992.

V krabici je m bílých a n černých koulí. Navíc máme dostatecný počet černých koulí. Opakovaně náhodně vyjmeme 2 koule z krabice. Následující postup závisí na barvě vytažených kouli:
ctvereček Pokud obě vytažené koule mají stejnou barvu, vrátíme do krabice jednu černou kouli.
Pokud mají různé barvy, vrátíme do krabice kouli bílou.
Na čem závisí barva poslední koule, která zbude v krabici?

Řešení úlohy č. 112.

Úloha č.111: Prvočísla

Nejmenší prvočíslo je 2. Jedenácté nejmenší prvočíslo je 31. Kolik je 111. a 1111. nejmenší prvočíslo?

p(111) = 607, p(1111) = 8 933, p(11111) = 117 763. Řešení úlohy č. 111.

Úloha č.110: Binární relace.

Znázorněte graficky, které dvojice realných čísel x, y vyhovují vztahu |x| + |y| > 3.

Řešení úlohy č. 110.

Úloha č.109: Možný počet přemístění.

Hrací kámen leží na poli a1 šachovnice. Kolika možnými způsoby se může přemístit na pole h8, může-li se pohybovat střídavě nahoru (nebo dolů) o libovolný počet polí a následně vždy pouze o jedno pole doprava?

Řešení úlohy č. 109.

Úloha č.108: Tlumené kmity.

Při tlumeném kmitavém pohybu poklesne při každém kmitu amplituda o 1%. Po kolika kmitech poklesne amplituda na polovinu? Uvažujme odpor prostředí úměrný rychlosti pohybu.

Řešení úlohy č. 108.

Úloha č.107: Periodické funkce.

Najděte nejmenší periodu, definiční obor a načrtněte graf funkce f(α)= 10 sin α + 2 tg(α/2) - 3 tg(α/3).

Řešení úlohy č. 107.

Úloha č.106:

Automobil má celkovou hmotnost m = 1770 kg, pneumatiky 195/65 R15. Při otáčkách motoru n₁ = 6000 ot/min má maximální výkon P_max = 77 kW a točivý moment M = 122,55 N.m, při otáčkách n₂ = 4000 ot/min má maximální točivý moment M_max145 N.m a výkon P = 60,738 kW. Stálý převod i_st = 4,105. Vypočítejte převodový poměr i v převodovce, který by zajistil maximální zrychlení z rychlosti v = 80 km/h. V zadání jsou uvedeny i hodnoty, které k výpočtu nepotřebujeme. Údaje odpovídají vozu Mazda 3 se zážehovým motorem 1,6 MZR.

Řešení úlohy č. 106.

Úloha č.105: Apokalypsa Země(námět na úlohu zaslal Ing. Karel Buchta, Karlovy Vary)

V tíhovém poli tělesa m₁ (Slunce) se pohybuje druhé těleso m₂ (Země) (m₂ je cca 3.10⁵ menší než m₁) po kruhové dráze o poloměru r = 1,5.10¹¹ m, doba oběhu je T₁ = 365,25 dne. Obě tělesa považujme za hmotné body. Za jakou dobu t₂ narazí bod m₂ do bodu m₁, sníží-li se náhle jeho kruhová rychlost na nulu? K výpočtu použijte jeden z Keplerových zákonů.

Řešení úlohy č. 105.

Úloha č.104: Osa mimoběžek.

Jaká je nejkratší vzdálenost přímky p, která prochází body A[3, 0, -1] a B[8, 5, 1] a přímky q, která prochází body C[1, -2, 0] a D[6, 0, 2]?

Řešení úlohy č. 104.

Úloha č.103: Kružnice, která se dotýká 3 kružnic.

Mějme kružnice k1(0,0,r1=30), k2(100,0,r2=5) a k3(70,100,r3=15). Určete souřadnice středů a poloměry kružnic, které se dotýkají těchto 3 kružnic.

Řešení úlohy č. 103.

Úloha č.102: Nejkratší vzdálenost.

Vypočtěte nejkratší trajektorii z bodu A nejdříve do bodu B a pak do bodu C po kuželové ploše dle obrázku. Průměr základny kužele je 8 a jeho výška 3. Zakreslete nalezenou trajektorii do nárysu kužele.

Řešení úlohy č. 102.

Úloha č.101: Konstrukce trojúhelnika č.3.

Určete délku strany b a c u trojúhelníka, je-li dána strana a = 110 mm, výška va = 65 mm a úhel α = 75⁰.

Řešení úlohy č. 101.

Úloha č.100: Rovinná silová soustava.

Určete velikost tahové nebo tlakové síly v červeném prutu 3 jeřábové konstrukce.

Řešení úlohy č. 100.

Úloha č.99: Nedesítkové číselné soustavy.

V které poziční číselné soustavě by platil zápis 9 krát 7,1 = 33,9?

Řešení úlohy č. 99.

Úloha č.98: Výsledný resistor.

Najdete hodnotu resistoru, kterým můžete nahradit 8 resistorů dle obrázku.

Řešení úlohy č. 98.

Úloha č.97: Náhodná procházka brouka po hranách krychle.

Doba, kterou brouk potřebuje, aby se dostal z libovolného vrcholu krychle do vrcholu sousedního, je 1 minuta. Dorazí-li do vrchulu je stejná pravděpodobnost, že se vydá bez prodlení do vrcholu, který leží vpravo, stejná pravděpodobnost, že se vydá do vrcholu nalevo a stejná pravděpodobnost, že se vrátí nazpět do vrcholu, z kterého vyšel. Kolik mu v průměru trvá, než se dostane do protilehlého vrcholu krychle?

Řešení úlohy č. 97. Uvádím analytické řešení, které zaslal ing. Karel Buchta z Karlových Varů:

Označím si jako bod "A" roh krychle protilehlý po tělesové úhlopříčce od cílového bodu "C", bod "B" roh krychle protilehlý po stěnové úhlopříčce od cílového bodu "C" a bod "D" sousedící roh krychle s cílovým bodem "C".
S využitím vět o střední hodnotě náhodné veličiny a větě o střední délce náhodné veličiny se dostanu k "E(A), E(B) a E(D)", tedy k očekávané střední hodnotě kroku (času) z výchozího bodu "A", "B" a "D". Po prvním kroku z bodu "A" se dostaneme do typizovaného bodu "B" a očekávaná střední hodnota náhodné veličiny (kroku času z bodu "A") je o jednu větší než z bodu "B". Obdobně mezi body "B" a "D", resp. "B" a "A", již s uvážením jednotlivých četností třetinových hodnot pravděpodobností. Z bodu "D" v třetinové šanci na jeden časový krok dosáhneme cílového bodu "C" či ve dvou třetinách případů se vrátíme na pozice zpět. Sestavíme rovnice a soustavu o třech neznámých řešíme:

E(A) = 1 + E(B)
E(B) = 2/3.(1 + E(D)) + 1/3.(1 + E(A))
E(D) = 2/3.(1 + E(B)) + 1/3.1
------------------------------
E(A) = 10

Brouk v průměru zvládne svoji náhodnou procházku po hranách krychle po trase dle zadání za 10 minut.

Úlohu jsem řešil numericky. Simulací pohybu brouka (brouk miliónkrát vykonal předepsanou cestu) jsem obdržel průměrný čas 10,0 minut.

Úloha č.96: Pevnost nádoby

Mějme dvě uzavřené nádoby, jednu kulového tvaru a druhou stejného objemu, z plechu stejné tloušťky, ve tvaru rotačního elipsoidu s poměrem os 2:1. Pro zjednodušení uvažujme tenké stěny nádob, s napětím konstatním po celé tloušťce. Která z nádob snese větší vnitřní tlak?

Řešení úlohy č. 96.

Úloha č.95:

Muž se vrací každý den opilý z hospody domů. Aby si cestu zjednodušil, postavil si dva domy na opačných stranách od hospody. Každý z nich je vzdálen pouhých 50 kroků na cestě od restaurace. Jeho chůze se projevuje tak, že v každém okamžiku zcela náhodně (s pravděpodobností 0,5) udělá krok jedním směrem nebo se stejnou pravděpodobností stejně dlouhý krok opačným směrem. Jinak udržuje přímý směr. Kolik kroků musí udělat průměrně každý den, aby se dostal z hospody do jednoho ze svých domů?

Řešení úlohy č. 95.

Jedná se o 1-D náhodnou procházku (random walk), kterou poprvé studoval Karl Pearson v roce 1905. Opilý muž se dostane domů průměrně po 50² = 2500 krocích. Při simulaci našeho případu byla průměrná délka jeho cesty (z 1000 pokusů) 2517 kroků, minimální hodnota 214 kroků a maximální hodnota 15338 kroků. Správně vyřešil úlohu ing. Karel Buchta, který vtipně upozornil na to, že pokud bude muž opilý natolik, že nepozná ani svůj dům, pak nejpravděpodobnější místo, kde bychom ho měli hledat, bude u hospody. Vyplývá to z gaussovského rozdělení pravděpodobného výskytu objektu při náhodné procházce. Jednodimenzionální náhodná procházka může být studována též pomocí Markovových řetězců.

Úloha č.94:

Najděte všechna devítimístná čísla, která mají všechny cifry různé a jsou zároveň dělitelná čísly 2, 3, 5, 7, 11, 13 a 17.

Řešení úlohy č. 94.

Úloha č.93: Úhrnná pravděpodobnost

Jedna krabice obsahuje 5 bílých a 7 černých kuliček, druhá krabice 3 bílé a 7 červených, třetí 9 bílých a 4 zelené a čtvrtá krabice 5 červených a 5 zelených. Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnu z náhodně vybrané krabice bílou kuličku?

Řešení úlohy č. 93.

Úloha č.92: Jakou číslicí bude pravděpodobně začínat definované číslo?

Jaká je pravděpodobnost, že
a) pro libovolně zvolené číslo n bude číslo 2ⁿ začínat číslicí 2?
b) pro libovolně zvolené číslo n bude číslo n² začínat číslicí 2?
c) náhodné číslo n = RND bude začínat číslicí 2?
d) libovolná faktura vystavená v celé ČR dne 2. 2. 2009 začínala číslicí 2?

Řešení úlohy č. 92. Doporučuji přečíst si článek.

Úloha č.91: Optická soustava

Tenká bikonvexní čočka (|r₁|=|r₂|) má na vzduchu optickou mohutnost +5D, druhá tenká bikonvexní čočka (|r₃|=|r₄|) má na vzduchu optickou mohutnost +10D. Jakou optickou mohutnost bude mít optická soustava složená z těchto dvou tenkých čoček, které jsou od sebe vzdáleny 30mm? Před a za soustavou je vzduch, mezi čočkami je však u soustavy voda o indexu lomu 4/3. Index lomu skla, ze kterého jsou vyrobeny obě čočky je 1,5.

Řešení úlohy č. 91.

Úlohy zadává doc. Ing. Karel Tomančák, CSc.

ZPĚT - HLAVNÍ STRÁNKA